赤ちゃんにハンバーガーを食べさせることが問題ないのか、良くないことなのかを判断するためにも、まずはハンバーガーがどのような食べ物なのかを改めて知っておくことが大事です。
普段何気なく食べているハンバーガーがどんな栄養を持っていて、どんなアレルギー食材を使っているのか、おそらく多くの人はよく知らないし、気にもしていなかったと思います。
大人が食べるのであればそれでもいいのですが、やはり小さな子供が食べるのであれば、そうした点にも注意しながら食べさせてあげないと、食べ物の影響がすぐに身体に伝わってしまう小さな子供のためにはなりません。

ここでは、まずハンバーガー、そしてつけあわせのポテトやコーラなどの原料・栄養・アレルギー成分などについて解説します。
この解説を読んで、「なんだ、これなら食べさせても大丈夫だな」と思われるか、「こんなのやっぱり食べさせちゃダメだ！」と思われるかは、読んだ方におまかせします。

まずは、日本だけでなく世界的にもファーストフードの王様、マクドナルドのハンバーガーについて分析してみましょう。
近年ではマクドナルドに限らず、多くのファーストフードチェーンでは、ファーストフードは体に良くない、何を使っているのかわかったもんじゃないという批判に応えるように、ホームページで原料や栄養成分についてきちんとした記述がされています。
マクドナルドのハンバーガーの詳細はこちらのページにありますね。
このページの情報によれば、マクドナルドのハンバーガーの肉の部分（パティ） は牛肉100％。つなぎも使っていません。そして牛肉の原産地はオーストラリア産・ニュージーランド産だそうです。
そして、その牛肉の元となる牛については

マクドナルドのビーフパティの材料には飼育環境はもちろんのこと、餌となる牧草から厳しく管理され安全と認められた、オーストラリア産・ニュージーランド産100％ビーフを使用しています。

とあります。
そして、牛1頭1頭にはトレーサビリティー（どのように育った牛なのかについての記録をたどることができる） が可能とのことです。
ただし、日本のマクドナルドのサイトからは、自分が食べたハンバーガーの元になった牛がどの牛であるかを検索する機能はついていません。
また、「厳しく管理され」てはいるものの、成長ホルモン剤や動物用抗菌剤を使用しているのかしていないのかについては記載がありません。

そして、ハンバーガー1個の栄養については、

となっています。
特に気になるのが、カロリーと塩分ですね。
まずはカロリーですが、厚生労働省が定めた「生活活動強度別 エネルギー所要量 （kcal/日）」によれば、1～2歳の赤ちゃんの1日の必要カロリーは1050～1200kcalとなっています。
1日3食だとすると1食あたり350～400kcalぐらい。
そう考えると、とりあえずハンバーガー1個だけを食べさせるのであればカロリー的には多すぎということはないようです。
一方塩分の方ですが、これについては1歳頃の赤ちゃんの1日の摂取量は1.5g程度とされています。1食0.5gですね。
そうすると、マクドナルドのハンバーガーは塩分過多ということになります。塩分の多いピクルスやケチャップを抜いてもらうか、食べる量を1/3にするかしないと赤ちゃんの腎臓によくないかもしれません。

また、つけあわせのポテトについては、栄養成分は以下のようになっています。（マックフライポテトSサイズ）

こうしてみると、意外に塩分が少ないのがおわかりいただけるかと思います。
ただし栄養バランスは炭水化物に偏りすぎているのも確か。
ポテトを食べさせるのであれば、いっしょにサイドサラダなども食べさせてあげたほうがいいかもしれません。